3. 复利终值与现值
　　（ 1 ）复利终值：已知现值，求终值。
　　 F ＝ P （ 1 ＋ i ） ⁿ
　　在上式中，（ 1 ＋ i ） ⁿ 称为 “ 复利终值系数 ” ，用符号（ F/P ， i ， n ）表示。所以也可以写为： F ＝ P （ F/P ， i ， n ）
　　【例题】某人拟购房，开发商提出两个方案：方案一是现在一次性付 80 万元；方案二是 5 年后付 100 万元。若目前银行贷款利率为 7% （复利计息），要求计算比较那个付款方案有利。

　　『答案解析』方案一的终值＝ 80× （ F/P ， 7% ， 5 ）＝ 112.208 （万元） >100 （万元。
　　由于方案二的终值小于方案一的终值，所以应该选择方案二。
　　 ★ 如果其他条件不变，当期数为 1 时，复利终值和单利终值是相同的。
　　 ★ 在财务管理中，如果不加注明，一般均按照复利计算。

　　（ 2 ）复利现值：已知终值，求现值。
　　
　　（ 1 ＋ i ） ^-n 称为 “ 复利现值系数 ” ，用符号（ P/F ， i ， n ）表示，平时做题时，可查教材附表 2 得出，考试时一般会直接给出。
　　【例题】某人存入一笔钱，想 5 年后得到 10 万，若银行存款利率为 5% ，要求计算下列指标：
　　（ 1 ）如果按照单利计息，现在应存入银行多少资金？
　　（ 2 ）如果按照复利计息，现在应存入银行多少资金？

　　『答案解析』（ 1 ） P ＝ F/ （ 1 ＋ n×i ）＝ 10/ （ 1 ＋ 5×5% ）＝ 8 （万元）
　　（ 2 ） P ＝ 10× （ P/F ， 5% ， 5 ）＝ 10×0.7835 ＝ 7.835 （万元）
　　【提示】无论单利还是复利，终值和现值都互为逆运算，系数均互为倒数。

　　（三）普通年金的终值与现值
　　 1. 概念
　　
　　含义：指一定时期内每次等额收付的系列款项。
　　特点：金额相等；时间间隔相等。
　　 【提示】年金收付间隔的时间不一定是 1 年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
　　年金的种类
　　普通年金：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。（最基本的形式）
　　即付年金：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。
　　递延年金：在第二期或第二期以后收付的年金。
　　永续年金：无限期的普通年金。
　　【判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。（　）

　　『正确答案』 ×
『答案解析』在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足 “ 相等 ” 的条件即可。注意如果本题改为 “ 每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金 ” 则是正确的。即间隔期为一年，只是年金的一种情况。

　　 2. 普通年金终值与现值的计算
　　（ 1 ）普通年金终值计算：已知年金，求终值。
　　
　　 被称为年金终值系数，用符号（ F/A ， i ， n ）表示。考试会直接给出该系数。
　　【例题】小王是位热心于公众事业的人，自 1995 年 12 月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款 1 000 元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是 2% ，则小王九年捐款在 2003 年底相当于多少钱？

　

　　『答案解析』 F ＝ 1000× （ F/A ， 2% ， 9 ）＝ 1000×9.7546 ＝ 9754.6 （元）

　　【例题】 A 矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第 1 年开始，每年末向 A 公司交纳 10 亿美元的开采费，直到 10 年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给 A 公司 40 亿美元，在 8 年后开采结束，再付给 60 亿美元。如 A 公司要求的年投资回报率达到 15% ，问应接受哪个公司的投标？

　　【解答】
　　甲公司的方案对 A 公司来说是一笔年收款 10 亿美元的 10 年年金，其终值计算如下：
　　 F ＝ 10× （ F/A ， 15% ， 10 ）＝ 10×20.304 ＝ 203.04 （亿美元）
　　乙公司的方案对 A 公司来说是两笔收款，分别计算其终值：
　　第 1 笔收款（ 40 亿美元）的终值＝ 40× （ 1 ＋ 15% ） ¹⁰
　　＝ 40×4.0456 ＝ 161.824 （亿美元）
　　第 2 笔收款（ 60 亿美元）的终值＝ 60× （ 1 ＋ 15% ） ²
　　＝ 60×1.3225 ＝ 79.35 （亿美元）
　　终值合计 161.824 ＋ 79.35 ＝ 241.174 （亿美元）
　　因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。

　　【单选题】某人连续 5 年每年末存入银行 20 万元，银行年利率 6% ，按年复利计算，第 5 年年末一次性收回本金和利息，则到期可以回收的金额为（　）万元。
　　 A.104.80 　　 　　　　　
　　 B.106.00 　 　
　　 C.107.49 　　 　　　　　
　　 D.112.74

　

　　『正确答案』 D
『答案解析』 F ＝ A× （ F/A ， 6% ， 5 ）＝ 20×5.6371 ＝ 112.74 （万元）

　　 3. 普通年金现值的计算：已知年金，求现值。（重要）
　　
　　 被称为年金现值系数，记作（ P/A ， i ， n ）。
　　【例题】某投资项目于 2000 年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益 40 000 元。按年利率 6% 计算，计算预期 10 年收益的现值。

　　【解答】 P ＝ 40000× （ P/A ， 6% ， 10 ）
　　＝ 40000×7.3601
　　＝ 294404 （元）

　　【例题】钱小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是 A 开发商出售一套 100 平方米的住房，要求首期支付 10 万元，然后分 6 年每年年末支付 3 万元。钱小姐很想知道每年付 3 万元相当于现在多少钱，好让她与现在 2 000 元 / 平方米的市场价格进行比较。（贷款利率为 6% ）　　

　　【解答】 P ＝ 3× （ P/A ， 6% ， 6 ）＝ 3×4.9173 ＝ 14.7519 （万元）
　　钱小姐付给 A 开发商的资金现值为： 10 ＋ 14.7519 ＝ 24.7519 （万元）
　　如果直接按每平方米 2000 元购买，钱小姐只需要付出 20 万元，可见分期付款对她不合算。

　　【单选题】下列关于现值 P 、终值 F 、年金 A 、利率 i 、计息期数 n 之间关系的描述中，正确的是（　）。
　　 A.F 一定、 n 相同时， i 越高、 P 越大
　　 B.P 一定、 n 相同时， i 越高、 F 越小
　　 C.i 、 n 相同时， F 与 P 呈同向变化
　　 D.i 、 n 相同时， F 与 P 呈反向变化

　　『正确答案』 C
『答案解析』 F 一定、 n 相同时， i 越高、 P 越小，所以选项 A 不正确； P 一定、 n 相同时， i 越高、 F 越大，所以选项 B 不正确； i 、 n 相同时， F 与 P 呈同向变化，所以选项 D 不正确。

　　 4. 年偿债基金和年资本回收额的计算（注意和普通年金终值、现值的关系）
　　（ 1 ）偿债基金的计算：已知终值求年金。
　　偿债基金，是指为了在约定的未来一定时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额。从计算的角度来看，就是在普通年金终值中解出 A ，这个 A 就是偿债基金。计算公式如下：
　　 式中， 称为 “ 偿债基金系数 ” ，记作（ A/F ， i ， n ）。
　　 ★ 偿债基金系数和年金终值系数是互为倒数的关系。
　　【例题】某企业有一笔 4 年后到期的借款，到期值为 1000 万元。若存款年复利率为 10% ，则为偿还该项借款应建立的偿债基金为多少？

　

　　『答案解析』 1000 ＝ A× （ F/A ， 10% ， 4 ）
　　 A ＝ 1000/4.6410 ＝ 215.4

　　（ 2 ）资本回收额的计算：已知现值求年金。
　　 上式中， 称为资本回收系数，记作（ A/P,i ， n ）。
　　 ★ 资本回收系数与年金现值系数是互为倒数的关系。
　　【例题】为实施某项计划，需要取得外商贷款 1000 万美元，经双方协商，贷款利率为 8% ，按复利计息，贷款分 5 年于每年年末等额偿还。外商告知，他们已经算好，每年年末应归还本金 200 万元，支付利息 80 万美元。要求，核算外商的计算是否正确。

　　『答案解析』按照约定条件，每年应还本息数额：
　　 A ＝ 1000/ （ P/A ， 8% ， 5 ）＝ 250 （万元）

　　【总结】：（ 1 ）偿债基金和普通年金终值互为逆运算；
　　偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。
　　（ 2 ）资本回收额与普通年金现值互为逆运算；
　　资本回收系数与普通年金现值互为倒数。
　　【提示】即付年金和递延年金的有关计算，一般分为以下三步进行：
　　 1. 先确定终值点或现值点；
　　 2. 将即付年金或递延年金转换为普通年金，计算终值或现值；
　　 3. 调整时点差异。
　　（四）即付年金的终值与现值
　　 1. 即付年金终值的计算
　　方法一：先调整时间差，然后求普通年金终值。
　　
　　 F ＝ A （ F/A ， i ， n ）（ 1 ＋ i ）
　　方法二：先求普通年金终值，然后调整时间差；
　　
　　 F ＝ A[ （ F/A ， i ， n ＋ 1 ）－ 1]
　　【例题】为给儿子上大学准备资金，王先生连续 6 年于每年年初存入银行 3 000 元。若银行存款利率为 5% ，则王先生在第 6 年末能一次取出本利和多少钱 ?

　　『答案解析』 F ＝ A[ （ F/A ， i ， n ＋ 1 ） -1]
　　＝ 3000×[ （ F/A ， 5% ， 7 ） -1]
　　＝ 3000× （ 8.1420-1 ）
　　＝ 21426 （元）

　　 2. 即付年金现值的计算
　　方法一：先调整时间差，然后求普通年金现值。
　　
　　 P ＝ A （ P/A ， i ， n ）（ 1 ＋ i ）
　　方法二：先求普通年金现值，然后调整时间差；
　　
　　 P ＝ A[ （ P/A ， i ， n － 1 ）＋ 1]
　　【例题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款 15 000 元，分 l0 年付清。若银行利率为 6% ，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少 ?

　　【解答】 P ＝ A·[ （ P/A ， i ， n-1 ）＋ 1]
　　＝ 15000×[ （ P/A ， 6% ， 9 ）＋ 1]
　　＝ 15000× （ 6.8017 ＋ 1 ）＝ 117025.5 （元）

　　【总结】关于即付年金的现值与终值计算，都可以以普通年金的计算为基础进行，也就是在普通年金现值或终值的基础上，再乘以（ 1 ＋ i ）。
　　（五）递延年金和永续年金
　　 1. 递延年金
　　递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。
　　
　　【注意】递延期的确定，其参考的依据是普通年金形式，上图中，递延期为 m 年，当期一定没有年金发生。
　　 2. 递延年金终值计算
　　计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。
　　 F ＝ A （ F/A ， i ， n ）
　　 3. 递延年金现值的计算
　　方法一：先求已有的普通年金现值，然后折现求零点价值；
　　
　　计算公式如下：
　　 P ＝ A （ P/A ， i ， n ） × （ P/F ， i ， m ）
　　方法二：假定普通年金模式，求现值后相减；
　　
　　计算公式如下：
　　 P_O ＝ A×[ （ P/A,i,m ＋ n ）－（ P/A,i,m ） ]
　　方法三：先求已有的年金终值，然后折现求零点价值。
　　 P ＝ A× （ F/A ， i ， n ） × （ P/F ， i ， m ＋ n ）
　　【例题】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：
　　（ 1 ）从现在起，每年年初支付 20 万，连续支付 10 次，共 200 万元；
　　（ 2 ）从第 5 年开始，每年末支付 25 万元，连续支付 10 次，共 250 万元；
　　（ 3 ）从第 5 年开始，每年初支付 24 万元，连续支付 10 次，共 240 万元。
　　假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为 10% ，你认为该公司应选择哪个方案？

　　『答案解析』方案（ 1 ）
　　 P0 ＝ 20× （ P/A ， 10% ， 10 ） × （ 1 ＋ 10% ）
　　＝ 135.18 （万元）
　　方案（ 2 ）（注意递延期为 4 年）
　　 P ＝ 25×[ （ F/A ， 10% ， 10 ） × （ P/F ， 10% ， 4 ）
　　＝ 104.93 （万元）
　　方案（ 3 ）（注意递延期为 3 年）　　 　　
　　 P ＝ 24× （ P/A ， 10% ， 10 ） × （ P/F ， 10% ， 3 ）
　　＝ 110.78
　　该公司应该选择第二方案。

　　 4. 永续年金
　　永续年金，是指无限期等额收付的年金。永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。
　　永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中，令 n 趋于无穷大，即可得出永续年金现值： P ＝ A/i
　　【例题】某项永久性奖学金，每年计划颁发 50000 元奖金。若年复利率为 8% ，该奖学金的本金应为多少元。

　　本金＝ 50000/8% ＝ 625000

　　【提示】关于资金时间价值的计算，可以从以下几个角度来把握：
　　（ 1 ）明确原理，分析是一次支付还是年金形式；
　　（ 2 ）画出资金流量图，注意分析的时点；
　　（ 3 ）注意折现的期限和时点；
　　（ 4 ）系数考试会予以介绍，不必死记硬背，但原理务必掌握。

（编辑老师：游军）